에르고딕성 — 평균은 벌어도 내 계좌는 잃는 구조

백테스트 결과표의 "평균 수익"이 플러스인데 실제 계좌는 계속 줄어드는 경우가 있습니다. 계산 실수가 아니라 평균을 내는 방식이 달라서 생기는 일입니다. 이 차이를 설명하는 개념이 에르고딕성(ergodicity)입니다. 어떤 과정이 에르고딕하다는 것은 많은 사람이 한 번씩 한 결과의 평균(집단 평균)과 한 사람이 오래 반복한 결과(시간 평균)가 같다는 뜻입니다. 수익이 곱셈으로 쌓이는 트레이딩은 대부분 에르고딕하지 않습니다. 아래 숫자는 모두 개념 설명용 가정입니다.

집단 평균과 시간 평균

주사위를 1,000명이 한 번씩 던진 평균과, 한 사람이 1,000번 던진 평균은 둘 다 3.5 근처로 모입니다. 주사위 눈은 서로 더해지고, 한 번의 결과가 다음 판의 크기에 영향을 주지 않기 때문입니다. 이런 과정은 에르고딕합니다.

트레이딩 계좌는 다릅니다. 이번 거래에서 잃으면 다음 거래에 들어갈 돈이 줄어듭니다. 수익률이 더해지는 것이 아니라 곱해지기 때문에, 1,000명의 평균과 한 사람의 1,000번 결과가 크게 갈라집니다. 개인 트레이더가 겪는 것은 언제나 시간 평균 쪽입니다. 다른 999명의 계좌와 평균을 낼 수 없기 때문입니다.

예시 ① — 기대값 +5% 인 동전 게임

같은 게임인데 한쪽 계산은 판마다 +5%, 다른 쪽은 판마다 −5.13% 입니다. 집단 평균은 산술평균이고, 한 사람의 성장률은 기하평균입니다. +50% 와 −40% 의 산술평균은 +5% 지만, 곱셈으로 이어 붙이면 −10% 가 됩니다. 이 차이를 변동성 잠식(volatility drag)이라고 부릅니다.

예시 ② — 판 수를 늘리면 차이가 벌어진다

100판 뒤 기대값이 13만 달러를 넘는 이유는 극소수가 앞면을 연속으로 많이 뽑아 천문학적인 금액을 만들기 때문입니다. 그 소수가 평균을 끌어올리는 동안 대부분의 참가자는 $5 근처로 줄어듭니다. 10판만 해도 시작금보다 많이 남는 사람은 10명 중 4명이 안 됩니다. "기대값이 플러스면 오래 하면 무조건 번다"는 말은 덧셈 게임에서만 맞습니다. 이런 결과 분포를 직접 돌려 보는 방법은 몬테카를로 시뮬레이션 글에 있습니다.

예시 ③ — 베팅 비율을 줄이면 같은 게임이 플러스가 된다

게임 규칙은 그대로 두고, 매판 자금의 일부만 건다고 해 보겠습니다. 베팅 비율을 f 라고 하면 앞면일 때 자금은 (1 + 0.5f) 배, 뒷면일 때는 (1 − 0.4f) 배가 됩니다.

전액을 걸면 망하는 게임이, 4분의 1만 걸면 시간이 갈수록 불어나는 게임으로 바뀝니다. 이 게임에서 성장률을 최대로 만드는 비율이 정확히 25% 이고, 이것을 계산하는 공식이 켈리 기준입니다. 25% 보다 더 걸면 기대값은 계속 커지지만 성장률은 오히려 떨어지고, 50% 에서 0 이 되며, 그 위로는 마이너스입니다. 기대값을 키우는 선택과 계좌를 키우는 선택이 다르다는 것이 에르고딕성 문제의 핵심입니다.

예시 ④ — 코인 레버리지에 적용하기

레버리지는 베팅 비율을 100% 위로 올리는 것과 같습니다. 가격이 하루씩 번갈아 +4%, −4% 움직이는 코인을 가정하고, 매일 같은 배율로 레버리지를 다시 맞춘다고 해 보겠습니다(레버리지 토큰이 쓰는 방식). 수수료·펀딩비·청산은 빼고 계산합니다.

방향을 맞히지 못한 것도 아니고, 가격은 거의 제자리입니다. 그런데도 배율이 높을수록 계좌가 빠르게 녹습니다. 오르내림이 반복될 때마다 기하평균이 깎이고, 깎이는 양은 배율의 제곱에 비례해 커지기 때문입니다. 레버리지를 올리는 것이 왜 위험한지는 과도한 레버리지 피하기 글에서 청산 관점으로도 다뤘습니다.

성장률 근사식

수익률의 평균을 μ, 변동성(표준편차)을 σ, 레버리지를 L 이라고 하면, 기간당 계좌 성장률은 대략 다음과 같습니다.

첫째 항(L × μ)은 배율에 비례해 늘고, 둘째 항(L² × σ² ÷ 2)은 배율의 제곱으로 늘어납니다. 그래서 어느 지점을 넘으면 둘째 항이 이깁니다. 이 가정에서는 하루 0.1% 라는 플러스 기대값을 갖고 있어도 2배만 걸면 1년에 3분의 1 이상을 잃습니다. 변동성이 큰 코인일수록 σ 가 커서 최적 배율이 더 낮아집니다. 실제 수익률은 정규분포보다 꼬리가 두꺼워(팻테일) 이 근사식보다 결과가 더 나쁜 경우가 많습니다.

트레이딩에서 확인할 것

① 백테스트 평균 수익률을 그대로 믿지 않는다. 거래당 평균 수익률(산술평균)과 복리로 이어 붙인 계좌 성장률(기하평균)을 따로 계산합니다. 둘의 차이가 크면 변동성이 수익을 갉아먹고 있다는 뜻입니다. 거래당 기대값 자체를 계산하는 방법은 트레이딩 기대값 글을 참고하세요.

② 깡통은 되돌릴 수 없다. 집단 평균에서는 한 사람이 0 이 돼도 다른 사람의 이익으로 상쇄되지만, 한 사람의 시간 평균에서 0 은 게임 종료입니다. −50% 는 +100% 를 해야 복구되고, −90% 는 +900% 가 필요합니다(손실 복구 계산). 파산 확률을 따로 보는 이유가 여기 있습니다(파산 확률).

③ 거래당 위험 비율로 베팅 크기를 정한다. 예시 ③ 처럼 같은 전략도 비율에 따라 결과의 부호가 바뀝니다. 켈리 기준이 계산하는 최적값은 승률·손익비를 정확히 알 때의 이론값이라, 실무에서는 그 절반 이하로 쓰는 경우가 많습니다. 구체적인 계산은 포지션 사이징 글에 있습니다.

④ 연패의 순서도 결과를 바꾼다. 곱셈 구조에서는 같은 수익률들이라도 큰 손실이 초반에 몰리면 회복이 더 어렵습니다(수익률 순서 위험, 연패 확률).

정리

주의

본문의 확률, 수익률, 변동성, 레버리지 배율, 금액 등 모든 숫자는 개념을 설명하기 위한 가정 예시이며 특정 종목이나 시점의 실제 데이터가 아닙니다. 계산은 수수료·펀딩비·슬리피지·청산을 제외했고, 성장률 근사식은 수익률 분포를 단순화한 근사입니다. 이 글은 교육 정보이며 특정 종목·전략의 매수·매도 권유나 특정 수익을 보장하는 내용이 아닙니다. 선물·레버리지 거래는 원금 손실 위험이 있고, 매매 판단과 그 결과는 본인 책임입니다.